ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ИЗОБРЕТАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ

А. Б. Бушуев, С. А. Чепинский (Санкт-Петербург)

Разработка средств имитационного моделирования изобретательских задач, да и всего математического аппарата научно-технического творчества, находится на первоначальном этапе своего развития. В математическом смысле класс изобретательских задач, находящийся на стыке мышления и техники, пока еще не выделился из совокупности общесистемных проблем теории развития и искусственного интеллекта. Существующее программное обеспечение в помощь изобретателю, например «Изобретающая машина» [1], имеет в основе математический аппарат экспертных систем и практически не связано с имитационным моделированием.

Сложность проблемы заключается в разделении и совмещении стадий функционирования и развития технических систем. Изобретатель, обдумывая новое техническое решение, т. е. развивая техническую систему, опирается на функционирование (работу) прототипа. В то же время работа системы является частью ее эволюции, и, по крайней мере, численные значения коэффициентов для моделей развития приходится брать из реальных технических систем.

Поскольку по законам диалектики переход к новому качественному решению не может происходить без скачка, необходимо учитывать тем или иным образом дискретность математических моделей изобретательских задач. К настоящему моменту складываются три основных вида дискретных моделей, применяемых для различных целей в изобретательской практике: а) дискретные во времени; б) дискретные в пространстве, но непрерывные во времени; в) дискретные и в пространстве, и во времени.

Модель, дискретная во времени. Такая модель используется в задаче оценки уровня развития технической системы [2, 3], который определяется по патентным формулам изобретений, защищающих техническую систему.

Рассмотрим хронологическую последовательность изобретений x k , k = 0,1,2,.., в которой изобретение x k- 1 является прототипом для изобретения x k . Тогда каждое изобретение можно рассматривать как состояние одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием, на которую поступает случайный поток признаков S i , = 0,1,2,... В патентном праве признаками устройства являются элементы, узлы, детали, связи между ними, взаиморасположение и материал элементов и т.п. Признаки ограничительной части формулы изобретения поступают на обслуживание, образуя ядро изобретения Kerx k . Признаки отличительной части находятся в ожидании, образуя очередь Lin x k . Пусть p ik (Ker x k ) – вероятность того, что признак S i I Ker x k , а p jk (Lin x k ) – вероятность того, что признак S j I Lin x k , i?j, тогда можно показать, что lim p jk (Lin x k ) при k >? меньше или равен 0,5, а lim p ik (Ker x k ) равен 1. Действительно, у отличительного признака k-го изобретения есть только два исхода: либо выпасть из формулы k+1-го изобретения, либо перейти в ограничительные признаки k+1-го изобретения. Ограничительный же признак имеет более высокую вероятность «прижиться» в последовательности изобретений: хотя изобретатели и стараются выкинуть его для повышения новизны, однако не могут этого сделать из-за потери работоспособности устройства.

В общем случае в k-е ядро входит m-штук ограничительных признаков. Тогда плотность ядра определяется произведением вероятностей

p(k) = p 1k(Ker x k) p 2k(Ker x k)p 3k(Ker x k)... p mk(Ker x k) (1)

в предположении, что признаки независимы. В противном случае необходимо учитывать условные вероятности.

Для описания эволюции ядра можно использовать дискретное уравнение Бернулли

p(k+1) = a 1 p(k)+a 2 p?(k)+a 3 p?(k)+..., (2)

в котором в целях упрощения ограничиваемся двумя членами ряда, т.е.

p(k+1) = ? p(k) – ? p?(k), k = 0,1,2,... (3)

Уравнение (3) является дискретным аналогом уравнения Ферхюльста–Перла, которое описывает развитие популяций и имеет решение

, (4)

где B j = B j- 1 (? – B j), i = 1,2,3,..., B 0 = ?p(0). Коэффициенты ? и ? определяются экспериментально. Огибающей решетчатой функции p(k) является так называемая
S-образная кривая, или логиста [4]. По виду S-кривой и оценивается уровень развития технической системы. График при изменении k имеет три этапа: медленного роста, бурного роста и насыщения (когда p(k) ? 1). Если поступивший на обслуживание признак настолько сильный, что способен обеспечить работоспособность системы без старых ограничительных признаков, то они покидают формулу, плотность ядра резко падает, и система переходит на развитие по новому принципу действия, по новой логисте.

Модель, дискретная в пространстве и непрерывная во времени [5]. Такая модель используется для имитационного моделирования структурно-энергетических схем (СЭС). СЭС составляется на основе функциональной схемы системы и отражает преобразование потока энергии/информации системой [6]. Функциональная схема дискретизируется по пространству вдоль линии преобразования, т. е. разбивается на одинаковые ячейки типа «поле–вещество–поле» или П i- 1->В i->П i, где i – порядковый номер поля. Под веществами в теории решения изобретательских задач (ТРИЗ) [4] понимаются любые элементы, устройства, узлы системы, ее функциональные части. Поля отражают, в принципе, любое взаимодействие между веществами. Например, вещественно-полевая СЭС датчика давления может быть представлена в виде П 0>В 1>П 1>В 2>П 2>В 3>П 3, где П 0 – входное измеряемое поле давления; В 1 – гибкая мембрана, поле прогиба П 1 которой действует на шток-сердечник индуктивного преобразователя перемещений В 2, выходной ток которого в виде электрического поля П 2 поступает на вход электронного усилителя-преобразователя В 3, выходной усиленный сигнал которого в виде информационного поля П 3 выдает цифровой код измеренного давления.

Каждое поле как воздействие можно охарактеризовать потенциалом или потенциальной функцией V i, которая для технических систем отождествляется с потенциальной энергией. Очевидно, возможности продвижения поля через вещество В i связаны с выполнением условия V i- 1> V i. Это условие вытекает из причинно-следственной связи между полями П i- 1 и П i, а в структуре определяется по направлению прохождения энергии/информации через вещество В i. Для активных веществ, питающихся от внешних источников, энергетическое условие меняет знак V j- 1 < V j.

Проходя через вещество, поле резко изменяет свои свойства: физическую природу и (или) интенсивность. Поэтому для моделирования скачка преобразования веществом В i поля П i- 1 в поле П i используем математическую катастрофу типа «сборки» с потенциальной функцией

V i = 0,25 p i 4 – 0,5 a i p i 2 + b i p i, (5)

где в качестве координаты p i выбрана вероятность преобразования поля П i- 1 в поле П i;
a i и b i – управляющие параметры катастрофы.

Считая вещество В iградиентной системой, из условия -?V i/?p i=k iT idp i/dt получаем дифференциальное уравнение для эволюции вероятности p i(t)

k iT idp i/dt= – p i(t) 3 + a ip i(t) – b i , (6)

где T i – постоянная времени, характеризующая инерционные свойства вещества В i; k i – масштабирующий множитель, выравнивающий размерности.

При b i = 0 получаем однородное дифференциальное уравнение, определяющее саморазвитие координаты p i(t) от начального условия p i(0)>0 до установившегося значения p iуст = (a i) 1/2. Параметр b i ? 0 определяет влияние поля П i- 1 на координату p i(t), т. е. внешнее воздействие со стороны предыдущей координаты p i- 1(t), и позволяет при моделировании структуры состыковать элементарные ячейки. Для стыковки ячеек определим внешнее воздействие на i-ю ячейку

b i = d ip i- 1(t), (7)

где d i – коэффициент диффузии. Тогда дифференциальное уравнение любой ячейки структуры будет иметь вид

k iT idp i/dt=- p i(t) 3 + a ip i(t) – d ip i- 1(t), (8)

где V iопределяется из выражения (5), а система уравнений типа (8) для разных i задает имитационную модель всей структуры. Коэффициенты в уравнениях (8) определяются при масштабировании катастрофы для каждого вещества В i [7].

Модель, дискретная в пространстве и во времени. К такого рода моделям приводит процесс моделирования алгоритма решения изобретательских задач (АРИЗ) [4], в котором необходимо математически задать понятие «свойство». Первоначально модель технической системы, или, лучше сказать, ее «узкого места», представляется в виде технического противоречия (ТП), т. е. диалектико-логической модели. Например, для проблемы городского транспорта можно сформулировать следующее ТП: если автобус большой (длинный или высокий, или широкий), то он более комфортабельный, но менее маневренный, если автобус маленький (короткий и т. д.), то он более маневренный, но менее комфортабельный. Свойства маневренности и комфортабельности конкурируют в мышлении изобретателя, решающего задачу по АРИЗ, обостряются и приводят к конфликту.

Модель [8] развития противоречивых свойств ТП получена на основе математической катастрофы типа «гиперболическая омбилика»:

Kdx/dt = – 3xyay; (9)

Kdy/dt = 3xy – ax, (10)

где t – время, x и y – координаты, определяющие эволюцию противоположных свойств технического противоречия во времени с начальными условиями y(0)= -x(0)>0; K и a –параметры, определяющие свойства мышления. График решения (9), (10) представляет собой две антисимметричные относительно оси времени S-кривые, которые при t>? максимально расходятся, предельно обостряя конфликт и включая механизм поиска нового решения, которое в АРИЗ называется Х-элементом. Как доказано в [8], математическая модель поисковых движений в подсознании представляет собой хаотический аттрактор Ресслера. В результате поиска в момент «озарения» происходит «захват» Х-элемента, новое решение пробивается в сознание изобретателя. Критерием захвата служит степень удаления нового решения от идеального конечного результата. Система мысленного поиска замыкается обратной связью и переходит в режим слежения за Х-элементом, дифференциальное уравнение которого в режиме слежения имеет вид

Kdz/dt = 3xyaz, (11)

где z – координата, определяющая эволюцию Х-элемента.

Естественно, возникает вопрос: каким свойством z должен обладать Х-элемент, чтобы разрешить противоречие между свойствами x и y, например, между маневренностью и комфортабельностью?

Будем считать, что решение получено, тогда в (11) можно перейти в установившийся режим, откуда получаем алгебраическую модель

z = 3xy/a = Cxy. (12)

Теперь для определения свойства z перейдем в (12) к пространственно-временной дискретизации, используя кинематическую систему физических величин, предложенную Р.О. ди Бартини [9]. Фрагмент системы Бартини поясняет таблица, в которой в базисе длины L и времени T приведены размерности физических величин.

Кинематическая система физических величин

D

L -1

L 0

L 1

L 2

L 3

L 4

T -3

L -1T -3

L 0T -3

Плотность потока

Напряженность эл.-магн. поля
Вязкость

Ток
Массовый расход

Импульс

T -2

Изменение объемной плотности

Угловое ускорение

Линейное ускорение

Разность потенциалов

Масса
Количество электрич-ва

Магнитный момент

T -1

Электр. объемная плотность

Частота
Угловая скорость

Линейная скорость

Обильность двумерная

Расход объемный

Скорость смещения объема

T 0

Кривизна
Изменение проводимости

Безраз-мерная величина
Константа

Длина
Емкость
Само-индукция

Поверхность (площадь)

Объем

Момент инерции плоской фигуры

T 1

Проводимость

Период

Длительность расстояния

L 2T 1

L 3T 1

L 4T 1

 

Таблица может быть продолжена в любую сторону путем изменения степеней m и n у L m и T n. Например, сила имеет размерность L 4T -4, давление – L 2T -4, энергия и статистическая температура – L 5T -4 и т.д. Числа m и n – любые целые для реального трехмерного пространства |m+n|?3.

Переходя к размерностям в (12), получаем дискретную математическую модель, связывающую конкурирующие свойства ТП со свойством нового решения, разрешающего противоречие:

L m3T n3=C L m1T n1 L m2T n3. (13)

Постоянная C в общем случае является размерной константой, т. е. C = L pT q, где конкретные значения p и q задают то или иное свойство нового решения, поскольку изобретательская задача принципиально может иметь несколько решений.

Например, если задать маневренность автобуса через радиус циркуляции, то получим L m1T n1=L 1T 0=м. Комфортабельность зададим количеством квадратных метров площади салона автобуса на одного человека, т. е. L m2T n2=L 2T 0=м 2/чел=м 2. Если решением изобретательской задачи является сочлененный автобус («гармошка»), имеющий в динамике свойство переменности объема, тогда можно найти постоянные p и q модели (13): L 3T 0=L 0T 0 L 1T 0 L 2T 0, откуда p = q =0.

Выводы. Полученные модели отличаются степенью учета содержательного смысла работы моделируемой системы. При оценке развития системы по формулам изобретений не рассматривается смысл технического решения, поскольку в формуле изобретения защищается, по сути, только конструкция. Однако это не означает, что содержательный смысл не присутствует в такой оценке, так как защищенное патентом решение обладает новизной, имеет изобретательский уровень и промышленно применимо. Поэтому смысл учитывается косвенно, при патентной экспертизе.

Информационно-энергетическая модель наиболее тесно связана со смыслом развития системы в мышлении изобретателя при разработке ее структуры. Моделируя или, в данном случае, развивая систему, изобретатель в «быстром» времени выявляет кривую развития всей системы на основании кривых развития подсистем. Моделирование позволяет выявить «узкое» место, торможение развития.

Моделирование свойств противоречия и есть моделирование «узкого» места, т. е. того звена, за которое можно вытянуть всю цепь. Хотя такое моделирование и не решает изобретательскую задачу, поскольку еще нужно обнаружить это «узкое» место или его создать, а также грамотно сформулировать противоречие, однако оно облегчает поиск подходящего физического свойства, которым должно обладать новое решение.

Литература

  • Цуриков В. М. Проект изобретающая машина: интеллектуальная среда поддержки инженерной деятельности//Журнал ТРИЗ. 1991. Т. 2, № 1. С. 17–34.
  • Бушуев А. Б., Михайлов С. В., Рюхин В. Ю., Мансурова О. К. Оценка уровня развития технических систем по формулам изобретений//Изв. вузов. Приборостроение.1998. Т. 41, № 7. С. 65–68.
  • Бушуев А. Б., Чепинский С. А. Структурно-патентный анализ технических систем//Сб. докладов Международной конференции TRIZfest-07 «Теория и практика решения изобретательских задач». М., 2007. С. 240–246. http://www.metodolog.ru/01169/01169.html
  • Альтшуллер Г. С. Найти идею. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. 324 с.
  • Бушуев А. Б., Мансурова О. К. Динамическая модель структурно-энергетических схем изобретений//Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. Вып. 36. СПб.: СЗТУ, 2006. С. 61–69.
  • Голдовский Б. И., Вайнерман М. И. Рациональное творчество. М.: Речной транспорт, 1990. 120 с.
  • Бушуев А. Б. Модель процесса управления конфликтом в изобретательской задаче//Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. Вып. 34. СПб.: СЗТУ, 2005. С. 45–50.
  • Бушуев А. Б. Х-элемент: поиск, захват, слежение//Сб. докладов Международной конференции ТРИЗФЕСТ 2006 «Три поколения ТРИЗ». СПб., 2006. С. 310–317.
    http://matriz.ru/6activity/06-works/06-works-05.pdf
  • Ди Бартини Р. О., Кузнецов П. Г. Множественность геометрий и множественность физик//Материалы семинара «Кибернетика электроэнергетических систем». Брянск,1974. http://situation.ru/app/rs/lib/pobisk/ur_model_sys/ur_model_sys.htm

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 06-08-01289-а.