Условная имитация
 

Условная имитация, как и контрольные переменные, комбинирует имитацию и дополнительные знания о моделируемом процессе, но является гораздо более гибким инструментом понижения дисперсии.

7.1. Расслоенные выборки
Идея использования расслоенных (стратифицированных) выборок восходит к демографической статистике и методикам обработки результатов опросов общественного мнения. Она состоит в разбивке полной совокупности результатов наблюдений на сравнительно однородные (с малой внутренней дисперсией) слои. Применительно к интересующей нас задаче проведем расслоение выборки имитируемых времен ожидания по значениям определяющих это ожидание факторов и запишем условное математическое ожидание через найденные в слоях

Применяя к его слагаемым формулу для дисперсии произведения независимых случайных величин, имеем для дисперсии искомой оценки
Точное знание вероятностей слоев cводит к нулю взвешенную сумму по-слойных вторых моментов длительности ожидания и значительно уменьшает Эта формула подсказывает организацию математического эксперимента: определить (предпочтительно аналитически) вероятности и – отдельно для каждого слоя – получить имитацией первые и вторые моменты времени ожидания. Успех расслоения обусловливается двумя требованиями:
• стратифицирующая переменная должна быть коррелирована с откликом (результатом);
• должны быть известны вероятности попадания в слои.
Наиболее естественной областью применения расслоенных выборок к имитации СМО является учет переменных внешних условий (изменение интенсивностей потоков, длительностей обслуживания, числа действующих каналов и т. п.). В частности, представляется целесообразным моделировать n-канальную СМО с ненадежными каналами как обычную систему с числом каналов от 1 до n и затем взвесить результаты с учетом распределения числа исправных каналов, полученного расчетом или моделированием процесса отказов и воccтановлений. Ограничением этого подхода является требование существования стационарного режима в каждом слое.

7.2. Общий случай
Пусть искомая характеристика СМО является математическим ожиданием функции двух независимых случайных величин X и Y:

причем аналитический вид g(x,y) неизвестен. Зафиксируем значение одного из случайных факторов и получим с помощью имитационной модели условный отклик
Тогда конечный результат можно получить численным интегрированием согласно
Поскольку влияние фактора Y учитывается аналитически, дисперсия будет меньше, чем в случае полного моделирования по всему пространству . Проиллюстрируем эту идею на аналитических моделях систем с очередями. Рас-смотрим расчет среднего времени ожидания заявки в системе M/G/1 для равномерного на интервале [0,3; 0,9] распределения времени обслуживания через соответствующую систему с регулярным обслуживанием (при переходе к имитационным моделям в по-следнем случае дисперсия результатов будет меньшей). По формуле Полячека-Хинчина для упомянутого равномерного распределения =0,6, =0,39 и при =1 среднее вре-мя ожидания w=0,4875. Моделирование системы M/D/1 при длительности обслужива-ния 0,3; 0,6 и 0,9 и 5000 испытаний дало соответственно 0,00627; 0,415 и 2,919. Под-ставляя эти результаты в формулу численного интегрирования по Симпсону, получаем

Непосредственное моделирование равномерно распределенной длительности обслуживания дало 0.439, то есть заметно худший результат. Разумеется, утроение чис-ла испытаний даст выигрыш в точности и на исходной модели (было получено 0,471). Однако работоспособность предложенного подхода несомненна. Реализация этой идеи имеет существенное ограничение: все частные варианты обсчитываемых имитационных моделей должны иметь докритический коэффициент загрузки . Например, при равномерно распределенной на отрезке [0,3;1,5] длительности обслуживания и =1 коэффициент загрузки составит 0.9, однако прогоны модели M/D/1 для будут бессмысленны из-за отсутствия стационарного режима. Комбинация аналитики и имитации эффективна и в случае периодических процессов обслуживания, методы аналитического расчета которых отсутствуют. Чтобы встроить в датчик интервалов между заявками циклическое изменение интенсивности входящего потока, возможны (в зависимости от системы программирования) следующие варианты:
• объявить таймер модели в общем блоке;
• оформить датчик как внутреннюю процедуру или ее аналог;
• сделать таймер параметром датчика.
Ясно, что прямая работа с таким датчиком увеличит дисперсию времени ожидания. С другой стороны, можно прогнать модель для интенсивностей потока, соответствующих узлам квадратурной формулы (для составной формулы Симпсона – 5 узлов от минимума до максимума с шагом фазы ). Тогда

(стандартный множитель перед суммой равен h/3, сумма делится на длину интервала интегрирования по фазе). Опыт подтвердил хорошую точность даже при малом числе испытаний.
В рассмотренной сумме наибольшую роль играют два последних слагаемых – из-за гиперболического роста ожидания по коэффициенту загрузки и коэффициента «4» при четвертом слагаемом. Они же обладают наибольшей дисперсией. Поэтому ограниченный общий лимит испытаний следует распределять между точками пропорционально произведениям квадратов весовых коэффициентов на вторые моменты длительности ожидания, определенные по данным пробных прогонов.

7.3. Определение вероятностей редких событий Условная имитация является единственным средством получения достаточно точных оценок вероятностей редких событий (например, отказа высоконадежных систем). Для решения такой задачи искомую вероятность записывают как сумму произведений условных вероятностей отказа или других неблагоприятных событий (предполагается, что эти вероятности существенно больше искомой). Затем вероятности звеньев цепочек определяются на серии «условных» моделей, а при возможности – аналитическими методами. Наконец, они подставляются в исходную формулу. К сожалению, принцип оценки потенциального выигрыша по числу испытаний в немногих затрагивающих данный вопрос статьях [2] четко не формулируется.
Ключевой идеей оценки является обратная пропорциональность требуемого числа испытаний искомой вероятности и квадрату ее допустимой относительной погрешности. Пусть искомая вероятность
причем составляющие имеют порядок 0,01. Тогда сама  имеет порядок , и для ее прямого определения с относительной погрешностью 0,1 требуется испытаний, где k – функция доверительной вероятности.
При перемножении их относительные погрешности будут складываться, и для расчета каждой из них потребуется испытаний. Выигрыш по числу испытаний будет в раз (для сохранения доверительной вероятности придется пойти на некоторое его уменьшение).

 
назад

вперед